Дела на миллион: математические «Задачи тысячелетия» доступным языком

Интересно

Август 1900 года ознаменовался проведением II Международного конгресса математиков в Париже, на котором один из корифеев науки Давид Гильберт сформулировал наиболее кардинальные проблемы, требующие решения.

К началу 21 века почти все из них были решены или оставлены в списке по другим причинам – например, нечетко сформулированным – и спустя сто лет после Гильберта математик Стивен Смейл представил новый список из 18 задач, которые они придется столкнуться математикам и физикам нашего времени. Попытку Смейла сосчитать можно, но гораздо больше известности получил альтернативный вариант, предложенный авторитетным американским институтом Клея. Семь выпусков были названы на резонансном мероприятии, специально организованном в Париже. Одна из них, гипотеза Римана, эмигрировала из списка 1900 года, а другая, гипотеза Пуанкаре, была доказана двумя годами позже.

Мы представляем краткий обзор «Вызовов тысячелетия», за каждую из которых Институт Клея готов заплатить миллион долларов. Кстати, это касается и гипотезы Пуанкаре: заслуженный миллион все еще ожидает выплаты, а Григорий Перельман пока отказывается принимать приз. Конечно, мы упростили многие моменты, пытаясь объяснить задачи таким образом, чтобы суть была понятна даже человеку, очень далекому как от высшей математики, так и от любой другой математики.

1. Равенство классов P и NP

Сфера: теория алгоритмов

Предполагаемый в начале 1970-х годов, он остается нерешенным

Представьте, что вам нужно купить оргтехнику, мебель и канцелярские товары за 500 тысяч рублей, и вы смотрите на прайс-лист поставщика. Вы можете выбрать все, что захотите, но в список должны входить два принтера, одно кресло руководителя, 50 шариковых ручек, все остальное необязательно. Сколько возможных комбинаций? Это вариант «задачи рюкзака», который в классической форме заключается в размещении в объеме рюкзака как можно большего количества вещей определенного объема и стоимости. Проверить окончательную версию легко, но сложно найти. Эти действия, среди прочего, включают «взлом» чужого пароля, который зашифрован таким образом, что система может легко проверить его правильность, но для взломщика практически невозможно определить правильную версию в море Решения. Альтернативы зашифрованной строке.

Такие задачи в теории алгоритмов относятся к классу сложности NP: их решение можно быстро проверить. Некоторые из них относятся к классу P – те, решение которых также легко найти (за «предсказуемое», или, точнее, за полиномиальное время). Вопрос в том, всегда ли существуют простые алгоритмы для решения задач NP, то есть если классы NP и P совпадают. Сегодня предполагается, что ответ будет отрицательным: не все проблемы, решения которых легко проверяются, могут быть легко решены. Математик НАСА Субит Чакрабарти предсказывает, что окончательный ответ может быть получен в течение следующих 50 лет.

Читайте также:  Физикам удалось остановить электрон с помощью фемтосекундных лазеров

Предложений на миллион: математические «проблемы тысячелетия» доступным языком

Диаграмма классов сложности при условии P ≠ NP

2. Существование и гладкость решений уравнений Навье — Стокса

Сектор: математическая физика (гидродинамика)

Проблема известна более ста лет, она остается нерешенной

Проблема на стыке математики и классической физики проистекает из работы, проделанной в 19 веке, когда ученые начали формулировать жесткие законы, описывающие движение жидкостей. Полученные в то время уравнения Навье – Стокса остаются одними из важнейших в гидродинамике и аэродинамике. Они позволяют рассчитывать расход с учетом вязкости, сжимаемости, плотности, давления и т.д. И используются повсеместно. Однако решить их в общем виде пока невозможно, и расчеты выполняются только для отдельных частных случаев.

Решение уравнений Навье-Стокса скрывает многие секреты одного из «самых упорных дураков» в современной физике: проблему турбулентности. С его помощью современные технологии повсеместны, от самолетов и подводных лодок до ветряных электростанций и автомобилей, но большая часть турбулентности остается плохо изученной, плохо рассчитанной и почти непредсказуемой. Поэтому ученые с особым упорством подходят к решению этой задачи тысячелетия. Математик Субит Чакрабарти предполагает, что решение сложных уравнений турбулентности можно найти в течение полувека. Между тем казахстанский математик Мухтарбай Отелбаев подал заявку на победу, в расчетах которой позже была обнаружена ошибка, как и узбекский ученый Шокир Довлатов, решение которого все еще проверяется.

Американский математик Стивен Смейл получил премию Филдса за свои работы в области топологии. В 2000 году он возглавлял математический факультет Калифорнийского университета в Беркли, когда академик Владимир Арнольд, тогдашний президент Международного математического союза (IMU), предложил ему собрать список новых задач, чтобы заменить уже заполненный список Гильберта. Смейл выбрал 18 из этих задач, некоторые из которых, включая равенство P и NP, гипотезы Пуанкаре и Римана, решения уравнений Навье-Стокса и т.д., были включены в список задач подготовленного тысячелетия из Института Клэя.

Предложений на миллион: математические «проблемы тысячелетия» доступным языком

Непрерывная среда

3. Гипотеза Римана

Сфера: теория чисел

Сформулированный в 1859 году, он остается нерешенным

Многие из нас в школе помнят о существовании простых чисел – тех, которые делятся только на 1 и сами себя, например 2, 3, 5, 7, 11 и так далее. Простые числа играют важную роль в «абстрактной» теории чисел и на практике, например, в функционировании криптографических алгоритмов. Если мы отметим положение всех простых чисел на числовой оси, мы увидим, что их распределение нерегулярно и, по-видимому, не подчиняется шаблону, поэтому невозможно заранее предсказать, где именно появится следующее простое число. Однако Бернар Риман показал, что это распределение аналогично точкам, в которых дзета-функция – (s) = 1 / 1s + 1 / 2s + 1 / 3s + 1 / 4s +… – обращается в нуль.

известно, что он имеет нулевое значение, когда s – отрицательное четное число. Но где еще? Согласно расчетам Римана, другие нули появляются, если s – комплексное число, содержащее действительную часть 1/2. Проблема была названа среди актуальных Давидом Гильбертом в 1900 году и до сих пор не решена, хотя почти все математики готовы согласиться: расчеты, сделанные даже с использованием суперкомпьютеров и для невероятно больших простых чисел, подтверждают справедливость гипотезы Римана. Это было доказано примерно 10 триллионами первых решений, но еще не в общих чертах. По словам Субита Чакрабарти, за годы работы над этой проблемой математики прошли долгий путь, и ответ можно будет найти в ближайшие десятилетия.

Читайте также:  В НАСА показали архивные снимки из последнего полета Аполлона-17

Предложений на миллион: математические «проблемы тысячелетия» доступным языком

Действительная (красная) и мнимая (синяя) составляющие дзета-функции

4. Гипотеза Пуанкаре

Область применения: топология

Появился в 1900–1904 годах, решен в 2002 году.

Гипотеза Пуанкаре относится к топологии, одной из самых сложных и молодых областей математики, которая изучает свойства геометрических фигур и их деформации, происходящие без разрывов. Смоделируйте пирамиду из пластилина – вы легко сможете превратить ее в конус, цилиндр или даже сферу, никуда ничего не приклеивая и не порывая. Слепите бублик – и такой фокус у вас не получится, хотя бублик легко деформируется, например, в чашке с ручкой. Строго говоря, поверхности сферы и цилиндра гомеоморфны, а сферы и тор негомеоморфны. Но это для простейшего случая: Пуанкаре показал, что любая замкнутая двумерная поверхность (без дырок) гомеоморфна двумерной сфере. Решение для больших поверхностей заняло около века.

интересно, что для размерности 5 и выше гипотеза Пуанкаре была доказана в 1960-х, а для размерности 4 – в 1980-х. Случай, когда любая трехмерная поверхность гомеоморфна трехмерной сфере, оказался наиболее трудным. Это доказал только в 2002 году петербургский математик Григорий Перельман, сразу получивший мировую известность. После серии неприятных интриг и попыток отобрать славу первооткрывателя Перельман, уже слывший «безумным гением», порвал все связи с официальным математическим миром, отказавшись от получения денежной премии от Института Клея и ведет одинокий образ жизни, не принимает многочисленных предложений о работе и участия во всевозможных профессиональных мероприятиях и форумах.

Предложений на миллион: математические «проблемы тысячелетия» доступным языком

5. Гипотеза Ходжа

Сфера: алгебраическая геометрия

Сформулированный в 1941 году, он остается нерешенным

Со времен Декарта алгебраическая геометрия достигла больших успехов в описании форм сложных объектов. Мы можем предложить уравнение, решения которого будут соответствовать конкретной фигуре, например описать сферу как (x – a) 2 + (y – b) 2 = r2. Если объект слишком сложный, мы можем аппроксимировать эту форму, «склеивая» более простые формы вместе – так что это будет соответствовать решению системы уравнений. Этот подход широко используется, и математики также прошли долгий путь от объектов, которые обычно соответствуют любому геометрическому аналогу, к тому, что называется более широким термином «разнообразие».

Вопрос в том, насколько этот подход применим к специальному классу проективных алгебраических многообразий. Шотландец Уильям Ходж нашел гениальный метод проверки соответствия этих многообразий алгебраическим уравнениям их представления, но пока не удалось доказать их справедливость в общем случае. Более того, математик Субит Чакрабарти считает эту проблему слишком «абстрактной» для нынешнего уровня развития науки: ее решение требует разработки новых разделов плохо усвоенной алгебраической геометрии и будет найдено очень скоро. Пока эта гипотеза доказана только для некоторых частных случаев, и математики не знают, верна ли она в принципе.

Читайте также:  РФ и США договорились о создании рабочей группы по космосу

Предложений на миллион: математические «проблемы тысячелетия» доступным языком

6. Теория Янга – Миллса

Сектор: математическая физика (физика элементарных частиц)

Рожденный в 1950-х годах, он остается нераскрытым

Теория Янга – Миллса относится к области физики элементарных частиц, являясь основой современных представлений о них. По сути, это набор уравнений, которые пытаются предсказать поведение частиц и представляют собой попытку предоставить единое описание трех из четырех фундаментальных взаимодействий природы: сильного, слабого и электромагнитного. Этого удалось достичь лишь частично за счет создания аппарата для описания комбинированного электрослабого взаимодействия. Пока невозможно решить уравнения, включив в них сильное взаимодействие, и для него было найдено отдельное решение, которое, среди прочего, привело к открытию кварков.

Оказывается, теория Янга-Миллса включает электрослабое и – по отдельности – сильное взаимодействие. Эксперименты показывают, что в принципе он может их объединить: предсказания уравнений согласуются с экспериментами, как естественными, так и расчетными, моделями. Однако это еще не доказано математически. Доказано, что такая строгая теория требует построения описаний для каждой компактной калибровочной группы, то есть группы преобразований, в которой свойства системы частиц остаются неизменными (поскольку фазовый сдвиг не влияет на свойства электронной волны), и это необходимо сделать для четырехмерного пространства-времени. Субит Чакрабарти предполагает, что решение этой проблемы потребует около столетия и кропотливой работы нескольких поколений математиков.

Предложений на миллион: математические «проблемы тысячелетия» доступным языком

Ян Чжэннин

7. Гипотеза Бёрча – Свиннертон-Дайера

Сфера: алгебраическая геометрия

Проблема возникла в начале 1960-х годов, она остается нерешенной

Уравнения, в которых и переменные, и решения являются целыми числами, названы Диофантом в честь древнегреческого математика. В своей простейшей форме они действительно просты – например, x2 = y: помните, что геометрическое решение такого схоластического уравнения будет параболой. Но в самых сложных случаях все действительно усложняется. Более того, советский математик Юрий Матиясевич также доказал, что универсального решения диофантовых уравнений не существует, и тем самым ответил на вопрос о десятой проблеме Гильберта.

Гипотеза Берча-Суиннертона-Дайера (два человека – Питер Суиннертон-Дайер и Брайан Берч) утверждает, что множество решений эллиптической кривой связано с поведением функции L в области 1. Эта функция вычисляется как дзета-функция уже знакомой нам по гипотезе Римана, а число рациональных решений бесконечно тогда (и только тогда), когда L (1) = 0. Математик Виктор Колывагин в одном направлении доказал, что если L (1) ≠ 0, то количество рациональных точек конечно. Обратные вычисления сделать невозможно. Согласно Субиту Чакрабарти, возможно, что окончательное доказательство этой гипотезы в принципе не может быть получено, о чем свидетельствует ответ на вопрос десятой проблемы Гильберта. Вероятно, ответы на гипотезу Берча – Суиннертона-Дайера можно будет получить только в частном порядке.

Один источник

Оцените статью
Добавить комментарий