Решаю задачу из вступительных экзаменов на мехмат МГУ в 1970 году: как это было ?

Интересно

Снова попалась мне в руки замечательная книжка, которую еще в школе я использовал для подготовки к экзаменами и олимпиадам.

Решаю задачу из вступительных экзаменов на мехмат МГУ в 1970 году: как это было ?

В конце приведен достаточно обширный список вступительных задач по математике для поступления в МГУ на разные факультеты, начиная с 1970 года. Сегодня у нас на завтрак неравенство с логарифмами, приправленное тригонометрией прямиком из 1970 года со вступительных экзаменов на мехмат МГУ. Начнём!

Решаю задачу из вступительных экзаменов на мехмат МГУ в 1970 году: как это было ?

Посмотрим внимательно на неравенство, скорее всего путь к решению лежит через образование в левой и правой части логарифмов с одинаковым основанием, очевидно равным 2. Но для начала определим область допустимых значений x!

Решаю задачу из вступительных экзаменов на мехмат МГУ в 1970 году: как это было ?

Очевидно, ОДЗ аргумента х будет выглядеть так. Решение:

Решаю задачу из вступительных экзаменов на мехмат МГУ в 1970 году: как это было ?

sinx > 0 в первой и второй четверти (если забыли, почитайте в моей статье). Поехали дальше, вспоминаем логарифмы (уже упоминал эти простые правила, когда решал часть А ЕГЭ — ближе к середине статьи). Преобразовываем:

Решаю задачу из вступительных экзаменов на мехмат МГУ в 1970 году: как это было ?

А теперь вспомним график логарифмической функции:

Решаю задачу из вступительных экзаменов на мехмат МГУ в 1970 году: как это было ?

Значит, мы можем заменить неравенство на:

Решаю задачу из вступительных экзаменов на мехмат МГУ в 1970 году: как это было ?

От логарифмов избавились, помучаемся с синусами и косинусами. Прежде всего заметим, что слева формула косинуса двойного угла.

Решаю задачу из вступительных экзаменов на мехмат МГУ в 1970 году: как это было ?

Перенесем влево синус в квадрате и применим формулу разности квадратов, получим:

Решаю задачу из вступительных экзаменов на мехмат МГУ в 1970 году: как это было ?

Решаю задачу из вступительных экзаменов на мехмат МГУ в 1970 году: как это было ?

Наконец-то можно выдохнуть: после замены sinx=t перед нами обычные многочлены 2-ой степени.

Решаю задачу из вступительных экзаменов на мехмат МГУ в 1970 году: как это было ?

Применим любимую мною теорему Виета для нахождения нулей этих многочленов (можно идти через дискриминант, но тут всё тривиально). Оч

Решаю задачу из вступительных экзаменов на мехмат МГУ в 1970 году: как это было ?

Раз уж у нас не заявлена "математика дял начинающих", оставлю ход решения этого неравенства в потемках своей души. Отмечу лишь, что, исходя из ОДЗ t, в качестве решения подходит только отрезок [-1/2;1/2]. Решаем неравенство, вспоминаем ОДЗ и рисуем ответы на графике для наглядности:

Решаю задачу из вступительных экзаменов на мехмат МГУ в 1970 году: как это было ?

Из графика становится понятно, что из решения неравенства необходимо исключить две точки, выделенные красным цветом.

Решаю задачу из вступительных экзаменов на мехмат МГУ в 1970 году: как это было ?

************************************************************************

Источник

Оцените статью
Саморазвитие IQ