Теорема Чебышева как фундамент современной теории вероятностей

Интересно

Погрузитесь в мир случайностей. Важно понимать, что значение случайной величины в любой момент можно определить только с определенной вероятностью. Казалось бы, наши знания достаточно ограничены, чтобы определять любую закономерность в поведении случайных величин и делать прогнозы, по крайней мере, в первом приближении. Именно эту проблему решил известный русский математик Пафнути Львович Чебышев, сформулировав свою знаменитую теорему.

Источник: https://zen.yandex.ru/id/5ea986b87c806053df507911

В чем суть теоремы Чебышева?

Для практики очень важно, чтобы небольшая выборка объектов делала выводы о том или ином свойстве населения в целом. Здесь вступает в игру закон больших чисел, строго говоря, состоящий из теорем Чебышева (наиболее общие) и Бернулли (частные).

Формулировка: с неограниченным увеличением количества независимых тестов значение случайной величины сходится по вероятности к своему математическому ожиданию.

Теорема Чебышева как основа современной теории вероятностей

Возьмем простейший случай: дисперсия (спред) ограничена, тесты выполняются одинаково, среднее математическое ожидание равно математическому ожиданию случайной величины.

На пальцах это звучит так: хотя мы не можем предсказать конкретное значение случайной величины, мы можем с вероятностью, близкой к единице, определить ее среднее арифметическое, чего на практике будет более чем достаточно.

Важное свойство: среднее арифметическое в этом случае больше не является случайной величиной!

Конкретных примеров применения теоремы Чебышева в реальной жизни огромное количество:

1. Проведение измерений: при достаточно большом количестве измерений, например напряжения сети, можно получить значение, максимально близкое к реальному.

2. Контроль качества. Например, необязательно проверять всю однородную партию товара, но выборочной проверки достаточно.

3. Страхование. Учитывая размер страховой премии, страховщик имеет определенную информацию о вероятности наступления страховых случаев и возможных убытках клиента от них. Согласно теореме Чебышева, найдя среднее арифметическое этих убытков, страховщик может определить идеальный размер страховой премии: выгодный для него и привлекательный для клиента.

Читайте также:  «Мам, отведи меня в детство»: стихотворение, которое поймут все, кто стал взрослым

4. Финансовые рынки. Проведение большого количества финансовых операций с известной средней ожидаемой доходностью является основой для диверсификации рисков.

Короткое интересное поясняющее видео:

Оцените статью
Добавить комментарий